...地球の自転軸は、地球の公転面と垂直ではなく[*]
地球自転軸は、25800年の 周期で歳差運動している (コマの首振り運動と同じ)。これによって、赤道座標系は時間とともずれていくので、 いつの時点の地球自転軸に準じた赤道座標系かを明示する必要がある。現在普通に使われているのは2000年分点であり、これをJ2000で表す。私が大学院に入った1986年頃は1950年分点のほうが広く使われていて、これを、B1950と表す。 例として、ブラックホール天体、 白鳥座X-1の赤経赤緯は、 ($299.^\circ590$, $35.^\circ201$) (J2000), ($299.^\circ120$, $35.^\circ065$)(B1950) である。 
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...傾いている[*]
41000年の周期で、 $22.^\circ2$から $24.^\circ5$ まで変化する。地球の回転を調べることが学問の一大分野になっていて、 日本では国立天文台水沢でやっている。 
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...赤道座標である[*]
天球の回転がまさに我々が日常使っている時刻と 結びついているために、赤経を$0^\circ$から$360^\circ$で表す代わりに、 0時から24時で表すことがある。1時間が$15^\circ$に対応する。通常通り、 1時間は60分、1分は60秒。 時、分、秒に対応する部分をhh, mm, ss.sとしたとき、赤経を、hh:mm:ss.sと表記する。 また、一般的に1度は60分角、1分角は60秒角。これを、 $1^\circ=60^\prime, 1^\prime=60^{\prime\prime}$ と表記する。赤緯を分角、秒角で表わすことも多い。たとえば、 ある天体の赤経、赤緯を ($281.^\circ00$,$-4.^\circ07$) と書いても、($18:44:0.0$, $-4^\circ 4^\prime 12^{\prime\prime}$)と書いてもよい。 
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... 以下の図は、これら3つの座標の間の変換を示したものである[*]
この図を作った Fortranプログラムをホームページに上げておきますので、参考にしてください。 
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...たとえば、以下の3つは天球上で同じ位置を表わす[*]
ほぼ銀河面上 (銀緯が小さいことからわかりますね？)、銀河中心から$28.^\circ5$離れて、 X線を強く放射している領域で、「僕の好きな空」です。 日本やアメリカの人工衛星でX線観測、チリやハワイの望遠鏡で赤外線観測をしました。 
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... どうやってこのような座標変換を計算するのだろうか[*]
たとえば、 http://heasarc.gsfc.nasa.gov/cgi-bin/Tools/convcoord/convcoord.pl などで、座標変換のサービスを提供している。 
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... さらに、「同じ添字が対になって一つの項に現われるときには、常にその添字について1から3までの和[*]
空間の3次元に加えて、時間の1次元が入ると1から4まで(あるいは0から3まで)の和になる。 
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...変換行列は9つの要素を持つわけだが、独立な要素は3つである[*]
オイラーの定理より任意の直交変換は、回転軸の方向(二つの要素で決まる) とそのまわりの回転角を与えれば実現できる。よって、必要なパラメーターは3つである。 
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...detMatrix)を満たしていることに注意しよう[*]
手計算は面倒だが、''Mathematica''を 使えば計算してくれる。しかし、ある程度は自分の手を動かすことを覚えておいたほうが良い。 
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...である[*]
正確な出典はわからなかったのだが、 HEASARCのcocoではこの値を使っているので、ここではそれに倣うことにした。 
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...十分な発電量を得るため、+Y軸は、常に太陽の方向を向いている必要がある [*]
少々ずれていても良い。太陽と+Y軸のなす角を「太陽角」と言う 
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...反時計周りに計った角を使う[*]
地球上では、通常、方位角は北から時計周りに計った角で定義する。経度が増える向きが地球と天球で反対のため、 こうなる。 
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... に応じて、オイラー角を決定する必要がある[*]
こういう衛星運用も、宇宙科学研究所の研究者の 大事な仕事である 
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... が書かれている。四元数を用いると、任意の座標変換を連続的に表現できる[*]
たとえば、ZYZで定義されるオイラー角を採用した場合、X軸の周りの回転を記述するのはやっかいである。 
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...四元数の性質[*]
この節と次節ではftp://ftp.cis.upenn.edu/pub/graphics/shoemake/quatut.ps.Zを参考にしています。このメモの著者のKen Shoemakeは、コンピューターグラフィクスにquaternionを導入した人らしい。 
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... が成立する[*]
これはそんなに自明でないから、ぜひ自分で手を動かして確認しておこう。 その証明には、スカラー三重積に関する法則(27)と、ベクトル三重積に関する法則、 $ {\bf A} \times ({\bf B} \times {\bf C}) = ({\bf A}\cdot{\bf C}) {\bf B} - ({\bf A}\cdot{\bf B}) {\bf C}$, $({\bf A} \times {\bf B}) \times {\bf C} = ({\bf A}\cdot{\bf C}) {\bf B} - ({\bf B}\cdot{\bf C}) {\bf A}$ を使う。(おそらく)力学の教科書に書いてあるように、ベクトル三重積の展開式を以下のように覚えておく。(1)展開式はカッコ内のベクトル の一次結合であって、(2)各ベクトルの係数は他の2つのベクトルの内積であり、(3)その符号は三重積の中央のベクトルに対しては正、 端のベクトルに対しては負である。 
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...四元数と回転[*]
この節の議論は、有名な教科書、''Classical Mechanics'' H. Goldstein に倣いました。 
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... よって、以下の定理が得られた[*]
オイラー角を用いて、3つの回転を順次行う際の行列計算が非常に 面倒くさかったことを思いだそう(43式など)。四元数を用いると、回転はよりシンプルに記述できる。 
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... 採用することがある[*]
私が「あすか」衛星のSlew(大きな姿勢移動)中の データを解析したとき、ジャイロを前方から積分して決めた姿勢と、後方から積分した 姿勢の平均を使うと、もっとも正確な姿勢が得られることがわかりました。 
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...ローレンツ変換[*]
Jackson, ``Classical Electrodynamics'' の''第1版''を参考にしています(日本語訳も出ています)。特殊相対論に関しては、 第2版よりも第1版の記述のほうがシンプルでわかりやすいと感じました。 
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...動いている時計はゆっくり進む[*]
この現象は、例えば 素粒子加速器実験では日々観測されている。素粒子固有の寿命$T_0$がごく短くても、 それを光速近くまで加速すると、我々が観測する寿命$T_1$は十分長くなるので、その ビームを観測することができる。 
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...である[*]
自明ではあるが、 式(89)について、これが成立することを確認しておこう。 
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... つまり、物体とともに動く時計で測った時間は不変量であり[*]
だから、 例えば1秒の絶対的な長さというものを定義することができる。 
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...と言う、見慣れた式になる[*]
地上でボールを時速$u=100$kmで 投げる。同じ方向に時速$v=80$kmで進む列車から見ると、その速さは$u-v$=100-80=20kmであると 考えるのが自然であるが、これは本当は正しくない。 ここで、厳密に式(112)を使うと、時速 $(20+1\times10^{-13})= 20.0000000000001$kmになる。 
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...変化する[*]
光行差と年周視差を混同しないこと。後者は、地球の公転半径が、星の距離に比べ無視できないときに 効いてきて、その大きさは星までの距離に依存する。 
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...一般相対性理論[*]
この節では、 ''Exploring Black Holes -Introduction to General Relativity'', by Taylor and Wheeler, Addison Wesley Longmanを参考にして います。日本語でも英語でも一般相対性理論の 教科書は山のようにありますが、僕が見た限り、 これが一番わかりやすい教科書でした(しかし厳密ではありません)。 
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... (いわゆる「無重力状態[*]
宇宙に行くと重力がなくなる、と言うことはない。重力は 宇宙のどこにでも存在する。重力に身を任せて自由落下することにより、重力の効果を 打ち消すことはできる。 
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... 縦方向の間隔は伸びる[*]
このように、一つの系の中で場所によって重力が異なることによって 見かけ上生じる力を潮汐力と言う。潮汐力によって4つのボールの配置が 変化した、と考えても良いし、重力の影響で、時空が平坦でなくなったと考えてもよい。 
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... それを、シュバルツシルト時空と呼ぶ[*]
回転している天体の周りの時空がカー時空である。 
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...で割った量として定義される[*]
たとえばブラックホールの場合は、 シュバルツシルト半径より内側が見えないので、半径を直接測れない。 
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... mm[*]
3 km, 1cmと覚えておけば大体事足りる。 
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... 円運動の公式から[*]
この計算には一般相対論を使っていないが、それで精度は十分である。 
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... ここでは、古典力学の応用問題として二体問題を勉強しよう[*]
一般相対論の効果は入れず、 ニュートン力学の範囲で考える。 
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... (barycenter)で測定した値に直す[*]
太陽系重心を求めるにはすべての惑星を考慮にいれるが、木星の影響が一番大きい。それでも、太陽系重心は太陽の中心とはそれほどずれておらず、太陽の中にある。 
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... 「軌道ファイル」には、六要素がエポックの関数として与えられている[*]
あるいは、 すでに六要素から計算された人工衛星の位置が、より細かい時間ビンで入っていることもある。 
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... 受賞した[*]
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1993/press.html 参照。 
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... である[*]
惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描く、というのが第一法則。 面積速度一定が第二法則。 
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... 次図は「人工衛星の力学と制御ハンドブック」より[*]
http://spaceflight.nasa.gov/realdata/elements/graphs.htmlも参考に 
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...地球の自転周期は23時間56分4.09秒である[*]
24時間ではないことに注意。 太陽に対して同じ向きになる周期が1日=24時間。 
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... 可能である。一方、あかりは、つねに地球と反対向きの空を観測することが可能になっている[*]
地球は赤外線を出すので、赤外線衛星にとっては ノイズ源になる。 
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...は、重力エネルギーが解放される一番内側の半径である。中性子星のときは中性子星の半径、ブラックホールの場合は降着円盤の内縁の半径 [*]
物質は 角運動量を持ってブラックホールに渦巻きながら落ちていくので、ブラックホールのまわりに円盤が形成される。これを降着円盤と呼ぶ。 
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... X-1[*]
さそり座X-1。全天で一番明るく、最初に発見されたX線源。 
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...トムソン断面積[*]
断面積という 概念に慣れておこう。文字通り、一つの電子がこれだけの面積をもって、光の道筋に立ちはだかっていると思ってよい。 
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...で、それより重いコンパクト星はブラックホールである[*]
質量以外にブラックホールの 観測的証拠はなかなか見つからないのだが、 「ブラックホールしかありえない」、ということ。 
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... それらの境界は必ずしもはっきりと定義されているわけではない[*]
X線天文学では、 2- 10 keVの波長域(エネルギーバンド)が、標準的に使われている。 
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... [eV]にくることがわかる[*]
厳密には$h\nu=2.82 kT$ にピークがくる。これは式(192)を$h\nu$で微分すれば得られる。 
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... MatherとSmootの2人は2006年のノーベル物理学賞を受賞している[*]
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2006/phyadv06.pdf。 
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... keVのX線で光っていることがわかる[*]
1 eV=11604 Kだから、 $\sim$2 keVは、2300万度と言っても良い。 
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... これは軟X線源として観測される[*]
エネルギーが低いX線を軟X線、soft X-rays、高いX線を硬X線、 hard X-raysと呼ぶ。 
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...である [*]
厳密には$R_s=2GM/c^2$という関係はアインシュタイン方程式を解かないと出てこないのだが、 以下のように覚えておくこともできる。質量 $m$の物体が質量$M$、半径$r$の天体 から脱出する際の脱出速度は、ニュートン力学で考えると $\frac{1}{2}m v^2 - G \frac{Mm}{r} =0$ より、 $v = \sqrt{2GM/r}$。半径が小さくなっていくと、天体の重力は強くなるので、それから 脱出するのに必要な速度は大きくなる。半径が、$2GM/c^2$まで小さくなると、脱出速度は 光速に等しくなる。この半径がシュバルツシルト半径。 
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...より内側では安定な円軌道が存在しないことが知られている [*]
これこそ、運動方程式を一般相対論的に解かないと出てこない。相対論の教科書を参考にして ください。 
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... たとえば、太陽の十億倍の質量を持つブラックホール[*]
このような 巨大ブラックホールが、活動的銀河中心核 (Active Galactic Nuclei; AGN)の正体と考えられている。 
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